Sistema de Coordenadas Esféricas

Fala pessoal, tudo bem? Espero que sim!

No post de hoje falaremos um pouco sobre o Sistema de Coordenadas Esféricas.

Trata-se de um tipo de Sistema de Coordenadas Tridimensional Sistemas de coordenadas esféricas são utilizados para descrever pontos no espaço tridimensional utilizando uma combinação de três variáveis: raio ( $r$ ), ângulo polar ( $\theta$ ) e ângulo azimutal ( $\varphi$ ). Essas coordenadas são especialmente úteis em problemas envolvendo simetria esférica, como, por exemplo, no estudo de campos gravitacionais ou eletromagnéticos gerados por esferas.

Na figura abaixo, é possível ver uma representação gráfica do sistema de coordenadas esféricas, onde o ponto $P$ é descrito pelas coordenadas $(r, \theta, \varphi)$ :

Figura 1. Esquema do Sistema de Coordenadas Esféricas. Fonte:WolframAlpha.

A coordenada $r$ representa a distância do ponto $P$ até a origem do sistema de coordenadas. O ângulo $\theta$ , também conhecido como inclinação ou polar, é medido a partir do eixo $z$ e varia de 0° (ponto sobre o eixo $z$ ) até 180° (ponto oposto ao eixo $z$ ). Já o ângulo $\varphi$ , também conhecido como azimutal, é medido a partir do eixo $x$ no plano $xy$ e varia de 0° (ponto sobre o eixo $x$ ) até 360° (volta completa em torno do eixo $x$ ).

Como podemos verificar na Figura 1, temos os eixos cartesianos $(x,y,z)$ e as coordenadas cilíndricas $(r,\theta,\varphi)$ .

Para efetuar a conversão das coordenadas esféricas em cartesianas, utilizamos as seguintes fórmulas matemáticas:

$x = r \sin(\theta) \cdot \cos(\varphi)$
$y = r \sin(\theta) \cdot \sin(\varphi)$
$z = r\cos(\theta)$

De forma similar, para converter as coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas, temos:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
$\theta = \arcsin(z/r)$
$\varphi = \arctan^{2}(y,x)$

Assim como no caso das coordenadas cilíndricas, as coordenadas esféricas possuem suas próprias expressões para cálculo de gradientes, divergências e rotacionais de campos vetoriais, que são expressos em termos das coordenadas esféricas. Além disso, a utilização de coordenadas esféricas também é comum em problemas de mecânica quântica, onde a simetria esférica é uma das propriedades mais importantes dos sistemas estudados.

É importante lembrar que a escolha do sistema de coordenadas mais adequado para cada problema depende da simetria do sistema em questão e das simplificações que podem ser obtidas através do uso de um sistema de coordenadas específico.

O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil para descrever a geometria de objetos que possuem simetria esférica, como planetas, estrelas e moléculas. Além disso, ele simplifica a descrição de fenômenos que ocorrem em três dimensões, como a propagação de ondas eletromagnéticas e acústicas, a dinâmica de partículas em sistemas gravitacionais, entre outros.

Ao contrário das coordenadas cartesianas, que utilizam três eixos ortogonais, o sistema de coordenadas esféricas utiliza apenas duas coordenadas angulares e uma coordenada radial. Isso permite uma representação mais compacta e intuitiva de objetos que possuem simetria esférica.

Além disso, muitas equações físicas têm uma forma mais simples quando expressas em coordenadas esféricas. Por exemplo, a equação de onda para uma onda esférica pode ser escrita de forma mais simples em coordenadas esféricas do que em coordenadas cartesianas.

No entanto, é importante destacar que o uso de coordenadas esféricas pode ser mais complexo do que o uso de coordenadas cartesianas em alguns casos, especialmente quando se trata de problemas envolvendo geometrias complexas ou não simétricas.

Espero que tenham gostado,

Forte abraço,

Marcos Souza