Sistema de Coordenadas Cilíndricas

Fala pessoal, tudo bem? Espero que sim!

No post de hoje falaremos um pouco sobre o Sistema de Coordenadas Cilíndricas.

Trata-se de um tipo de Sistema de Coordenadas Tridimensional que são frequentemente usados em física e matemática para descrever objetos que possuem simetria cilíndrica. Eles são especialmente úteis em problemas que envolvem coordenadas esféricas (que abordaremos em um post futuro), mas possuem simetria em relação a um eixo.

O Sistema de Coordenadas Cilíndricas é definido por três variáveis: coordenada radial, coordenada angular e coordenada z. A coordenada radial, denotada por $r$ , é a distância entre um ponto no espaço e um eixo fixo. A coordenada angular, denotada por $\theta$ , é o ângulo formado entre uma direção de referência e um ponto no espaço. A coordenada $z$ , denotada por $z$ , é a altura do ponto em relação a um plano de referência.

Para representar um ponto em um sistema de coordenadas cilíndricas, usa-se a notação $(r,\theta,z)$ . A figura abaixo ilustra o esquema do Sistema de Coordenadas Cilíndricas e as coordenadas cartesianas:

Figura 1. Esquema do Sistema de Coordenadas Cilíndricas. Fonte: WolframAlpha.

Vale ressaltar que o Sistema de Coordenadas Cilíndricas é uma generalização (em três dimensões) do Sistema de Coordenadas Polares (em duas dimensões).

Como podemos verificar na Figura 1, temos os eixos cartesianos $(x,y,z)$ e as coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ .

Para efetuar a conversão das coordenadas cilíndricas em cartesianas, utilizamos as seguintes fórmulas matemáticas:

$x = r \cos(\theta)$
$y = r \sin(\theta)$
$z = z$

De forma similar, para converter as coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas, temos:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$\theta = \arctan(y/x)$
$z = z$

Existem diversas situações em que é conveniente utilizar as coordenadas cilíndricas em vez das coordenadas cartesianas. Aqui estão algumas razões pelas quais o sistema de coordenadas cilíndricas pode ser preferível:

Simetria cilíndrica: muitas vezes, os objetos ou sistemas físicos possuem uma simetria cilíndrica, o que significa que suas propriedades físicas são as mesmas em torno de um eixo central. Nesses casos, as coordenadas cilíndricas são muito úteis, pois permitem expressar as equações que descrevem o comportamento do objeto em termos de suas coordenadas cilíndricas, aproveitando ao máximo a simetria.
Facilidade de cálculo: em muitos casos, a escolha das coordenadas cilíndricas pode simplificar muito os cálculos necessários para resolver um problema. Por exemplo, para calcular a força gravitacional entre dois corpos cilíndricos, pode ser mais fácil utilizar coordenadas cilíndricas para expressar a posição dos corpos e as equações que descrevem a força gravitacional.
Problemas com simetria axial: em alguns problemas em que há uma simetria axial, a escolha das coordenadas cilíndricas pode tornar os cálculos mais fáceis do que as coordenadas cartesianas. Por exemplo, na solução de problemas envolvendo tubos ou fios cilíndricos, as coordenadas cilíndricas são a escolha natural.
Facilidade de visualização: às vezes, pode ser mais fácil visualizar objetos ou sistemas físicos em coordenadas cilíndricas do que em coordenadas cartesianas. Por exemplo, imagine que você esteja tentando visualizar o movimento de uma partícula que se move em torno de um cilindro. As coordenadas cilíndricas permitem expressar a posição da partícula em relação ao eixo central do cilindro, o que pode facilitar a visualização do movimento.

Podemos dizer então que a escolha entre as coordenadas cilíndricas e cartesianas depende do problema em questão. No entanto, em muitas situações, as coordenadas cilíndricas podem simplificar os cálculos e fornecer uma descrição mais clara e conveniente do problema em questão.

Espero que tenham gostado,

Forte abraço,

Marcos Souza