Demonstrações de Identidades Trigonométricas

Fala pessoal, tudo bem? Espero que sim!!

No post de hoje falaremos um pouco sobre as Identidades Trigonométricas.

As identidades trigonométricas são equações que relacionam as funções trigonométricas, como seno, cosseno e tangente. Essas identidades são muito importantes em diversas áreas da matemática, como cálculo, geometria e física. A seguir, apresentamos algumas técnicas comuns para demonstrar identidades trigonométricas.

Substituição

A técnica de substituição envolve a substituição de uma função trigonométrica por outra. Por exemplo, podemos substituir o seno de um ângulo por sua definição em termos de cosseno, ou vice-versa. Em seguida, podemos aplicar as propriedades dos números reais, como distributividade e associatividade, para simplificar a expressão.

Por exemplo, para demonstrar a identidade $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ , podemos substituir o seno e o cosseno por suas definições em termos da tangente:

$\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\tan(\theta)}{1+\tan^{2}(\theta)}}{\frac{1}{1+\tan^{2}(\theta)}} = \frac{\tan(\theta}{1} = \tan(\theta)$

Multiplicação por Conjugado

A técnica de multiplicação por conjugado envolve a multiplicação de uma expressão por seu conjugado. Isso pode ser útil quando estamos lidando com expressões que contêm uma soma ou subtração de funções trigonométricas.

Por exemplo, para demonstrar a identidade $\sin(\theta) + \cos(\theta) = \sqrt{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4})$ , podemos multiplicar o lado direito da equação por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ , que é o conjugado de $\sqrt{2}$ :

$\sqrt{2} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \cos(\theta - \frac{\pi}{4}))$

Em seguida, podemos utilizar a identidade trigonométrica para o cosseno da diferença de ângulos, que afirma que $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$ , para simplificar a expressão:

$\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \cos(\theta - \frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(\theta) \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\theta) \sin(\frac{\pi}{4})) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\theta) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\theta))$

Finalmente, podemos utilizar as identidades trigonométricas para o seno e o cosseno do ângulo de $45^{\circ}$ , que afirmam que $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , para obter o resultado:

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\theta) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\theta)) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin(\theta) + \cos(\theta))$

Portanto, temos $\sin(\theta) + \cos(\theta) = \sqrt{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4})$ .

Identidades de Ângulos Duplos e Metade

As identidades de ângulos duplos e metade são usadas para relacionar funções trigonométricas de ângulos duplos ou metade com funções trigonométricas do ângulo original. Por exemplo, a identidade para o seno do ângulo duplo afirma que $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ .

Para demonstrar a identidade $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ , podemos utilizar a identidade para o seno do ângulo duplo, que afirma que $\sin^2(\theta) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\theta))$ :

$\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = \frac{1}{2} (1 - \cos(2\theta)) + \cos^{2}(\theta) = \frac{1}{2} (1 - \cos(2\theta)) + \frac{1}{2} (1+\cos(2\theta)) = 1$ .

Transformação em Produto

A técnica de transformação em produto envolve a transformação de uma soma ou diferença de funções trigonométricas em um produto. Isso pode ser útil quando estamos lidando com identidades que envolvem produtos de funções trigonométricas.

Por exemplo, para demonstrar a identidade $\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$ , podemos utilizar a identidade para a soma de senos, que afirma que $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$ :

$\frac{1}{2} (\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) = \frac{1}{2} (\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)) = \sin(\alpha)\cos(\beta)$